Производная e^(x-1)/(x+3)

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = e^{x - 1}$ и $g{\left(x \right)} = x + 3$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = x - 1$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x - 1\right)$:

      1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная постоянной $\left(-1\right) 1$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $e^{x - 1}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $x + 3$ почленно:

      1. Производная постоянной $3$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\left(x + 3\right) e^{x - 1} - e^{x - 1}}{\left(x + 3\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\left(x + 2\right) e^{x - 1}}{\left(x + 3\right)^{2}}$

Ответ:

$\frac{\left(x + 2\right) e^{x - 1}}{\left(x + 3\right)^{2}}$