Производная (e^x-e^-x)/x

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = e^{2 x} - 1$ и $g{\left(x \right)} = x e^{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $e^{2 x} - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. Заменим $u = 2 x$.

      3. Производная $e^{u}$ само оно.

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         В результате последовательности правил:

         $2 e^{2 x}$

      В результате: $2 e^{2 x}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left(x \right)} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная $e^{x}$ само оно.

      В результате: $x e^{x} + e^{x}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\left(2 x e^{3 x} - \left(x e^{x} + e^{x}\right) \left(e^{2 x} - 1\right)\right) e^{- 2 x}}{x^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\left(x e^{2 x} + x - e^{2 x} + 1\right) e^{- x}}{x^{2}}$

Ответ:

$\frac{\left(x e^{2 x} + x - e^{2 x} + 1\right) e^{- x}}{x^{2}}$