Производная e^sin(x)*cos(x)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = e^{\sin{\left(x \right)}}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

   В результате: $- e^{\sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} + e^{\sin{\left(x \right)}} \cos^{2}{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) e^{\sin{\left(x \right)}}$

Ответ:

$\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) e^{\sin{\left(x \right)}}$