Производная e^(1/x-1)

1. Заменим $u = \left(-1\right) 1 + 1 \cdot \frac{1}{x}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(\left(-1\right) 1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)$:

   1. дифференцируем $\left(-1\right) 1 + 1 \cdot \frac{1}{x}$ почленно:

      1. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Теперь применим правило производной деления:

         $- \frac{1}{x^{2}}$

      2. Производная постоянной $\left(-1\right) 1$ равна нулю.

      В результате: $- \frac{1}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{e^{\left(-1\right) 1 + 1 \cdot \frac{1}{x}}}{x^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{e^{- \frac{x - 1}{x}}}{x^{2}}$

Ответ:

$- \frac{e^{- \frac{x - 1}{x}}}{x^{2}}$