Производная e^(2*x)*x

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = e^{2 x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 2 x$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $2$

      В результате последовательности правил:

      $2 e^{2 x}$

   $g{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   В результате: $2 x e^{2 x} + e^{2 x}$

2. Теперь упростим:

   $\left(2 x + 1\right) e^{2 x}$

Ответ:

$\left(2 x + 1\right) e^{2 x}$