Производная exp(x)/pow(x,3)-pow(sin(x),3)-2

1. дифференцируем $- \sin^{3}{\left(x \right)} - 2 + \frac{e^{x}}{x^{3}}$ почленно:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = e^{x}$ и $g{\left(x \right)} = x^{3}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная $e^{x}$ само оно.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$.

      2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         В результате последовательности правил:

         $3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

      Таким образом, в результате: $- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   3. Производная постоянной $\left(-1\right) 2$ равна нулю.

   В результате: $- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

2. Теперь упростим:

   $- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{e^{x}}{x^{3}} - \frac{3 e^{x}}{x^{4}}$

Ответ:

$- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{e^{x}}{x^{3}} - \frac{3 e^{x}}{x^{4}}$