Производная 2*x^5-4/x^3+1/x+3*sqrt(x)-sin(x)

1. дифференцируем $3 \sqrt{x} + 2 x^{5} - \sin{\left(x \right)} - \frac{4}{x^{3}} + 1 \cdot \frac{1}{x}$ почленно:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $x^{5}$ получим $5 x^{4}$

      Таким образом, в результате: $10 x^{4}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Заменим $u = x^{3}$.

         2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{3}$:

            1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

            В результате последовательности правил:

            $- \frac{3}{x^{4}}$

         Таким образом, в результате: $- \frac{12}{x^{4}}$

      Таким образом, в результате: $\frac{12}{x^{4}}$

   3. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{1}{x^{2}}$

   4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

      Таким образом, в результате: $\frac{3}{2 \sqrt{x}}$

   5. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Таким образом, в результате: $- \cos{\left(x \right)}$

   В результате: $10 x^{4} - \cos{\left(x \right)} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{12}{x^{4}} + \frac{3}{2 \sqrt{x}}$

Ответ:

$10 x^{4} - \cos{\left(x \right)} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{12}{x^{4}} + \frac{3}{2 \sqrt{x}}$