Производная 2*cos(5*x)+3*sin(x/2)

1. дифференцируем $3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \cos{\left(5 x \right)}$ почленно:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = 5 x$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 5 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $5$

         В результате последовательности правил:

         $- 5 \sin{\left(5 x \right)}$

      Таким образом, в результате: $- 10 \sin{\left(5 x \right)}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

      Таким образом, в результате: $\frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

   В результате: $- 10 \sin{\left(5 x \right)} + \frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

2. Теперь упростим:

   $- 10 \sin{\left(5 x \right)} + \frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

Ответ:

$- 10 \sin{\left(5 x \right)} + \frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$