Производная 2*(e^x)*cos(x)+(5*x)*sin(x)

1. дифференцируем $5 x \sin{\left(x \right)} + 2 e^{x} \cos{\left(x \right)}$ почленно:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Применяем правило производной умножения:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Производная $e^{x}$ само оно.

         $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         В результате: $- e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}$

      Таким образом, в результате: $- 2 e^{x} \sin{\left(x \right)} + 2 e^{x} \cos{\left(x \right)}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Применяем правило производной умножения:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         В результате: $x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

      Таким образом, в результате: $5 x \cos{\left(x \right)} + 5 \sin{\left(x \right)}$

   В результате: $5 x \cos{\left(x \right)} - 2 e^{x} \sin{\left(x \right)} + 2 e^{x} \cos{\left(x \right)} + 5 \sin{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $5 x \cos{\left(x \right)} + 2 \sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 5 \sin{\left(x \right)}$

Ответ:

$5 x \cos{\left(x \right)} + 2 \sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 5 \sin{\left(x \right)}$