Производная 4*x^2*e^(x^3)+2*e^(x^2)

1. дифференцируем $4 x^{2} e^{x^{3}} + 2 e^{x^{2}}$ почленно:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Применяем правило производной умножения:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = e^{x^{3}}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = x^{3}$.

         2. Производная $e^{u}$ само оно.

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{3}$:

            1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

            В результате последовательности правил:

            $3 x^{2} e^{x^{3}}$

         $g{\left(x \right)} = x^{2}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         В результате: $3 x^{4} e^{x^{3}} + 2 x e^{x^{3}}$

      Таким образом, в результате: $12 x^{4} e^{x^{3}} + 8 x e^{x^{3}}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = x^{2}$.

      2. Производная $e^{u}$ само оно.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{2}$:

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         В результате последовательности правил:

         $2 x e^{x^{2}}$

      Таким образом, в результате: $4 x e^{x^{2}}$

   В результате: $12 x^{4} e^{x^{3}} + 4 x e^{x^{2}} + 8 x e^{x^{3}}$

2. Теперь упростим:

   $4 x \left(3 x^{3} e^{x^{3}} + e^{x^{2}} + 2 e^{x^{3}}\right)$

Ответ:

$4 x \left(3 x^{3} e^{x^{3}} + e^{x^{2}} + 2 e^{x^{3}}\right)$