Производная 4*x*cos(x/2)^(2)

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

      2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$:

         1. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

         2. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

            В результате последовательности правил:

            $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

         В результате последовательности правил:

         $- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$

      В результате: $- x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}$

   Таким образом, в результате: $- 4 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}$

2. Теперь упростим:

   $- 2 x \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} + 2$

Ответ:

$- 2 x \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} + 2$