Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная x/(1-cos(x))
Производная acos(e)^x
Производная log(x+1)
Производная 2*x+1/5
Идентичные выражения
четыре *cos(два *x)-cot(x/ два)
4 умножить на косинус от (2 умножить на x) минус котангенс от (x делить на 2)
четыре умножить на косинус от (два умножить на x) минус котангенс от (x делить на два)
4cos(2x)-cot(x/2)
4cos2x-cotx/2
4*cos(2*x)-cot(x разделить на 2)
Похожие выражения
4*cos(2*x)+cot(x/2)

Производная функции/ 4*cos(2*x)-cot(x/2)

Производная 4cos(2x)-cot(x/2)

Решение

Вы ввели [src]

                /x\
4*cos(2*x) - cot|-|
                \2/

$$4 \cos{\left(2 x \right)} - \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

d /                /x\\
--|4*cos(2*x) - cot|-||
dx\                \2//

$$\frac{d}{d x} \left(4 \cos{\left(2 x \right)} - \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)$$

Преобразовать

Подробное решение

дифференцируем $4 \cos{\left(2 x \right)} - \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}$ почленно:
1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
  1. Заменим $u = 2 x$ .
  2. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$ :
    1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      Таким образом, в результате: $2$
    В результате последовательности правил:
    
    $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$
  Таким образом, в результате: $- 8 \sin{\left(2 x \right)}$
2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
  1. Есть несколько способов вычислить эту производную.
    Method #1
    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\cot{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}$
    2. Заменим $u = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
    3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
    4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$ :
      
      Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}$
      
      Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Заменим $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Заменим $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$
    Method #2
    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\cot{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}$
    2. Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Заменим $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Заменим $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$
  Таким образом, в результате: $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$
В результате: $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} - 8 \sin{\left(2 x \right)}$
Теперь упростим:

$\frac{- 32 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 1}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

Ответ:

$\frac{- 32 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 1}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

       2/x\             
    cot |-|             
1       \2/             
- + ------- - 8*sin(2*x)
2      2

$$\frac{\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - 8 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{1}{2}$$

Упростить

Вторая производная [src]

 /              /       2/x\\    /x\\
 |              |1 + cot |-||*cot|-||
 |              \        \2//    \2/|
-|16*cos(2*x) + --------------------|
 \                       2          /

$$- (\frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + 16 \cos{\left(2 x \right)})$$

Упростить

Третья производная [src]

                           2                        
              /       2/x\\       2/x\ /       2/x\\
              |1 + cot |-||    cot |-|*|1 + cot |-||
              \        \2//        \2/ \        \2//
32*sin(2*x) + -------------- + ---------------------
                    4                    2

$$\frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{2}}{4} + 32 \sin{\left(2 x \right)}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная 4cos(2x)-cot(x/2)

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Method #1

Method #2

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная 4*cos(2*x)-cot(x/2)

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Method #1

Method #2

Производная 4cos(2x)-cot(x/2)