Производная (a*x++b)/(c*x+d)

Вы ввели [src]

a*x + b
-------
c*x + d

$$\frac{a x + b}{c x + d}$$

d /a*x + b\
--|-------|
dx\c*x + d/

$$\frac{\partial}{\partial x} \frac{a x + b}{c x + d}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = a x + b$ и $g{\left(x \right)} = c x + d$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. дифференцируем $a x + b$ почленно:
  1. Производная постоянной $b$ равна нулю.
  2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    Таким образом, в результате: $a$
  В результате: $a$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. дифференцируем $c x + d$ почленно:
  1. Производная постоянной $d$ равна нулю.
  2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    Таким образом, в результате: $c$
  В результате: $c$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{a \left(c x + d\right) - c \left(a x + b\right)}{\left(c x + d\right)^{2}}$

Ответ:

$\frac{a \left(c x + d\right) - c \left(a x + b\right)}{\left(c x + d\right)^{2}}$

Первая производная [src]

   a      c*(a*x + b)
------- - -----------
c*x + d             2
           (c*x + d)

$$\frac{a}{c x + d} - \frac{c \left(a x + b\right)}{\left(c x + d\right)^{2}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

    /     c*(b + a*x)\
2*c*|-a + -----------|
    \       d + c*x  /
----------------------
               2      
      (d + c*x)

$$\frac{2 c \left(- a + \frac{c \left(a x + b\right)}{c x + d}\right)}{\left(c x + d\right)^{2}}$$

Упростить

Третья производная [src]

   2 /    c*(b + a*x)\
6*c *|a - -----------|
     \      d + c*x  /
----------------------
               3      
      (d + c*x)

$$\frac{6 c^{2} \left(a - \frac{c \left(a x + b\right)}{c x + d}\right)}{\left(c x + d\right)^{3}}$$

Упростить

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная (ax++b)/(cx+d)

График:

Кусочно-заданная:

Решение