Подробное решение
Дана система ур-ний
$$z_{1} \cdot \left(3 - i\right) + z_{2} \cdot \left(4 - 2 i\right) = 2 + 6 i$$
$$z_{1} \cdot \left(4 + 2 i\right) - z_{2} \cdot \left(2 + 3 i\right) = 5 + 4 i$$
Из 1-го уравнения выразим z1
$$z_{1} \cdot \left(3 - i\right) + z_{2} \cdot \left(4 - 2 i\right) = 2 + 6 i$$
Перенесем слагаемое с переменной z2 из левой части в правую со сменой знака
$$z_{1} \cdot \left(3 - i\right) = - z_{2} \cdot \left(4 - 2 i\right) + \left(2 + 6 i\right)$$
$$z_{1} \cdot \left(3 - i\right) = - z_{2} \cdot \left(4 - 2 i\right) + 2 + 6 i$$
Разделим обе части уравнения на множитель при z1
$$\frac{z_{1} \cdot \left(3 - i\right)}{3 - i} = \frac{- z_{2} \cdot \left(4 - 2 i\right) + 2 + 6 i}{3 - i}$$
$$\frac{z_{1} \cdot \left(3 - i\right) \left(3 + i\right)}{10} = \frac{\left(3 + i\right) \left(- z_{2} \cdot \left(4 - 2 i\right) + 2 + 6 i\right)}{10}$$
Подставим найденное z1 в 2-е уравнение
$$z_{1} \cdot \left(4 + 2 i\right) - z_{2} \cdot \left(2 + 3 i\right) = 5 + 4 i$$
Получим:
$$- z_{2} \cdot \left(2 + 3 i\right) + \frac{\left(3 + i\right) \left(- z_{2} \cdot \left(4 - 2 i\right) + 2 + 6 i\right)}{10} \cdot \left(4 + 2 i\right) = 5 + 4 i$$
$$z_{2} \left(-8 - 5 i\right) - 4 + 8 i = 5 + 4 i$$
Перенесем свободное слагаемое -4 + 8*i из левой части в правую со сменой знака
$$z_{2} \left(-8 - 5 i\right) = \left(4 - 8 i\right) + \left(5 + 4 i\right)$$
$$z_{2} \left(-8 - 5 i\right) = 9 - 4 i$$
Разделим обе части уравнения на множитель при z2
$$\frac{z_{2} \left(-8 - 5 i\right)}{-8 - 5 i} = \frac{9 - 4 i}{-8 - 5 i}$$
$$\frac{z_{2} \left(-8 - 5 i\right) \left(-8 + 5 i\right)}{89} = \frac{\left(-8 + 5 i\right) \left(9 - 4 i\right)}{89}$$
Т.к.
$$\frac{z_{1} \cdot \left(3 - i\right) \left(3 + i\right)}{10} = \frac{\left(3 + i\right) \left(- z_{2} \cdot \left(4 - 2 i\right) + 2 + 6 i\right)}{10}$$
то
$$z_{1} = \frac{\left(3 + i\right) \left(2 - \frac{\left(-8 + 5 i\right) \left(9 - 4 i\right)}{89} \cdot \left(4 - 2 i\right) + 6 i\right)}{10}$$
$$z_{1} = \frac{\left(3 + i\right) \left(2 - \frac{\left(-8 + 5 i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(9 - 4 i\right)}{89} + 6 i\right)}{10}$$
Ответ:
$$z_{1} = \frac{\left(3 + i\right) \left(2 - \frac{\left(-8 + 5 i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(9 - 4 i\right)}{89} + 6 i\right)}{10}$$
$$\frac{z_{2} \left(-8 - 5 i\right) \left(-8 + 5 i\right)}{89} = \frac{\left(-8 + 5 i\right) \left(9 - 4 i\right)}{89}$$
Быстрый ответ
$$z_{1 1} = \frac{287}{445} + \frac{299 i}{445}$$
=
$$\frac{287}{445} + \frac{299 i}{445}$$
Упростить=
0.644943820224719 + 0.671910112359551*i
$$z_{2 1} = - \frac{52}{89} + \frac{77 i}{89}$$
=
$$- \frac{52}{89} + \frac{77 i}{89}$$
Упростить=
-0.584269662921348 + 0.865168539325843*i
Метод Крамера
$$z_{1} \cdot \left(3 - i\right) + z_{2} \cdot \left(4 - 2 i\right) = 2 + 6 i$$
$$z_{1} \cdot \left(4 + 2 i\right) - z_{2} \cdot \left(2 + 3 i\right) = 5 + 4 i$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 z_{1} - i z_{1} + 4 z_{2} - 2 i z_{2} = 2 + 6 i$$
$$4 z_{1} + 2 i z_{1} - 2 z_{2} - 3 i z_{2} = 5 + 4 i$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} \cdot \left(3 - i\right) + x_{2} \cdot \left(4 - 2 i\right)\\x_{1} \cdot \left(4 + 2 i\right) + x_{2} \left(-2 - 3 i\right)\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 + 6 i\\5 + 4 i\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного уравнения методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}3 - i & 4 - 2 i\\4 + 2 i & -2 - 3 i\end{matrix}\right] \right)} = -29 - 7 i$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{\left(-29 + 7 i\right) \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}2 + 6 i & 4 - 2 i\\5 + 4 i & -2 - 3 i\end{matrix}\right] \right)}}{890} = \frac{\left(3 + i\right) \left(2 - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(5 - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 4 i\right)}{-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}} + 6 i\right)}{10}$$
=
$$\frac{287}{445} + \frac{299 i}{445}$$
$$x_{2} = \frac{\left(-29 + 7 i\right) \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}3 - i & 2 + 6 i\\4 + 2 i & 5 + 4 i\end{matrix}\right] \right)}}{890} = \frac{5 - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 4 i}{-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}}$$
=
$$- \frac{52}{89} + \frac{77 i}{89}$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний
$$z_{1} \cdot \left(3 - i\right) + z_{2} \cdot \left(4 - 2 i\right) = 2 + 6 i$$
$$z_{1} \cdot \left(4 + 2 i\right) - z_{2} \cdot \left(2 + 3 i\right) = 5 + 4 i$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 z_{1} - i z_{1} + 4 z_{2} - 2 i z_{2} = 2 + 6 i$$
$$4 z_{1} + 2 i z_{1} - 2 z_{2} - 3 i z_{2} = 5 + 4 i$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 - i & 4 - 2 i & 2 + 6 i\\4 + 2 i & -2 - 3 i & 5 + 4 i\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3 - i\\4 + 2 i\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 - i & 4 - 2 i & 2 + 6 i\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\frac{\left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} \cdot \left(3 - i\right) \left(-1\right) + \left(4 + 2 i\right) & \left(-2 - 3 i\right) + \frac{\left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} \cdot \left(4 - 2 i\right) \left(-1\right) & \frac{\left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} \cdot \left(2 + 6 i\right) \left(-1\right) + \left(5 + 4 i\right)\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i & -2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} & 5 - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 4 i\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 - i & 4 - 2 i & 2 + 6 i\\4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i & -2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} & 5 - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 4 i\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4 - 2 i\\-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 - i & 4 - 2 i & 2 + 6 i\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i\right) + \frac{\left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20} \cdot \left(3 - i\right) \left(-1\right) & \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right) + \frac{\left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20} \cdot \left(4 - 2 i\right) \left(-1\right) & \left(5 - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 4 i\right) + \frac{\left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20} \cdot \left(2 + 6 i\right) \left(-1\right)\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20} & -2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20} & 5 - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 4 i - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 - i & 4 - 2 i & 2 + 6 i\\4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20} & -2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20} & 5 - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 4 i - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3 - i\\4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 - i & 4 - 2 i & 2 + 6 i\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\frac{\left(3 + i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} \cdot \left(3 - i\right) \left(-1\right) + \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right) & \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} \cdot \left(4 - 2 i\right) \left(-1\right) - \left(2 + \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20} + \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 3 i\right) & \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} \cdot \left(2 + 6 i\right) \left(-1\right) + \left(5 - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 4 i - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20} & -2 - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20} & 5 - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(3 + i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 4 i - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 - i & 4 - 2 i & 2 + 6 i\\4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20} & -2 - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20} & 5 - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(3 + i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 4 i - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4 - 2 i\\-2 - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 - i & 4 - 2 i & 2 + 6 i\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right) + \frac{\left(4 + 2 i\right) \left(-2 - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{20} \cdot \left(3 - i\right) \left(-1\right) & \left(-2 - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right) + \frac{\left(4 + 2 i\right) \left(-2 - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{20} \cdot \left(4 - 2 i\right) \left(-1\right) & \left(5 - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(3 + i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 4 i - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right) + \frac{\left(4 + 2 i\right) \left(-2 - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{20} \cdot \left(2 + 6 i\right) \left(-1\right)\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20} - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{20} & -2 - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20} - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{20} & 5 - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(3 + i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 4 i - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20} - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{20}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 - i & 4 - 2 i & 2 + 6 i\\4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20} - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{20} & -2 - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20} - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{20} & 5 - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(3 + i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 4 i - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20} - \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{20}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные уравнения:
$$x_{1} \cdot \left(3 - i\right) + x_{2} \cdot \left(4 - 2 i\right) - 2 - 6 i = 0$$
$$x_{1} \cdot \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20} - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{20}\right) + x_{2} \left(-2 - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20} - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{20}\right) - 5 + \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20} + \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{20} - 4 i + \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + \frac{\left(2 + 6 i\right) \left(3 + i\right) \left(4 - \frac{\left(3 - i\right) \left(3 + i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10} + 2 i - \frac{\left(3 - i\right) \left(4 + 2 i\right) \left(-2 - 3 i - \frac{\left(3 + i\right) \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}{10}\right)}{20}\right)}{10} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = - \frac{7 x_{2}}{5} + \frac{i x_{2}}{5} + 2 i$$
$$x_{1} = \frac{287}{445} + \frac{299 i}{445}$$
где x2 - свободные переменные
z21 = -0.5842696629213483 + 0.8651685393258427*i
z11 = 0.6449438202247191 + 0.6719101123595506*i
z21 = -0.5842696629213483 + 0.8651685393258427*i
z11 = 0.6449438202247191 + 0.6719101123595506*i