Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
- Предел atan(x^2)
- Предел sin(1)/x
- Предел 1-cos(x)/x^2
-
Предел sqrt(x/(1+x))
- Интеграл d{x}:
-
x/(1+2*x^2)
-
Идентичные выражения
- x/(один + два *x^ два)
- x делить на (1 плюс 2 умножить на x в квадрате )
- x делить на (один плюс два умножить на x в степени два)
- x/(1+2*x2)
- x/1+2*x2
- x/(1+2*x²)
- x/(1+2*x в степени 2)
- x/(1+2x^2)
- x/(1+2x2)
- x/1+2x2
- x/1+2x^2
- x разделить на (1+2*x^2)
-
Похожие выражения
- x/(1-2*x^2)
- x*atan(x)/(1+2*x^2)
- (2+5*x^3+7*x)/((1+2*x)^2*(1+5*x))
Предел функции x/(1+2*x^2)
Решение
Вы ввели
[src]
/ x \
lim |--------|
x->oo| 2|
\1 + 2*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2 x^{2} + 1}\right)$$
Limit(x/(1 + 2*x^2), x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2 x^{2} + 1}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2 x^{2} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(2 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(2 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{u^{2} + 2}\right)$$
=
$$\frac{0}{0^{2} + 2} = 0$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2 x^{2} + 1}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2 x^{2} + 1}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2 x^{2} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(2 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(2 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{u^{2} + 2}\right)$$
=
$$\frac{0}{0^{2} + 2} = 0$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2 x^{2} + 1}\right) = 0$$
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2} + 1\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2 x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{4 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{4 x}\right)$$
=
$$0$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
oo/oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2} + 1\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2 x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{4 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{4 x}\right)$$
=
$$0$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2 x^{2} + 1}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{2 x^{2} + 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{2 x^{2} + 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{2 x^{2} + 1}\right) = \frac{1}{3}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{2 x^{2} + 1}\right) = \frac{1}{3}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{2 x^{2} + 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{2 x^{2} + 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{2 x^{2} + 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{2 x^{2} + 1}\right) = \frac{1}{3}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{2 x^{2} + 1}\right) = \frac{1}{3}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{2 x^{2} + 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo
График