Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел 3^n/n^2
- Предел x*cot(7*x)
-
Предел sin(2*x)/atan(5*x)
-
Предел exp(-1/x)/x
-
Идентичные выражения
- три ^n/n^ два
- 3 в степени n делить на n в квадрате
- три в степени n делить на n в степени два
- 3n/n2
- 3^n/n²
- 3 в степени n/n в степени 2
- 3^n разделить на n^2
-
Что Вы имели ввиду?
- 3^n/(n^2)
- 3^((n/n)^2)
- 3^((n/n)^2)
Вы ввели:
3^n/n^2
Что Вы имели ввиду?
Предел функции 3^n/n^2
Решение
Вы ввели
[src]
/ n\
|3 |
lim |--|
n->oo| 2|
\n /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right)$$
Limit(3^n/(n^2), n, oo, dir='-')
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{n \to \infty} 3^{n} = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{n \to \infty} n^{2} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 3^{n}}{\frac{d}{d n} n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n} \log{\left(3 \right)}}{2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 3^{n} \log{\left(3 \right)}}{\frac{d}{d n} 2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n} \log{\left(3 \right)}^{2}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n} \log{\left(3 \right)}^{2}}{2}\right)$$
=
$$\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 2 раз(а)
oo/oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{n \to \infty} 3^{n} = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{n \to \infty} n^{2} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 3^{n}}{\frac{d}{d n} n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n} \log{\left(3 \right)}}{2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 3^{n} \log{\left(3 \right)}}{\frac{d}{d n} 2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n} \log{\left(3 \right)}^{2}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n} \log{\left(3 \right)}^{2}}{2}\right)$$
=
$$\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 2 раз(а)
График
Другие пределы при n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right) = \infty$$
Подробнее при n→0 слева
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right) = \infty$$
Подробнее при n→0 справа
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right) = 3$$
Подробнее при n→1 слева
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right) = 3$$
Подробнее при n→1 справа
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right) = 0$$
Подробнее при n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right) = \infty$$
Подробнее при n→0 слева
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right) = \infty$$
Подробнее при n→0 справа
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right) = 3$$
Подробнее при n→1 слева
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right) = 3$$
Подробнее при n→1 справа
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right) = 0$$
Подробнее при n→-oo
График