Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел sqrt(x)/log(x)
-
Предел x/(sqrt(3+x)-sqrt(3-x))
-
Предел sin(3)^2/x
-
Предел (1+5/x)^(3*x)
-
Идентичные выражения
- (один + пять /x)^(три *x)
- (1 плюс 5 делить на x) в степени (3 умножить на x)
- (один плюс пять делить на x) в степени (три умножить на x)
- (1+5/x)(3*x)
- 1+5/x3*x
- (1+5/x)^(3x)
- (1+5/x)(3x)
- 1+5/x3x
- 1+5/x^3x
- (1+5 разделить на x)^(3*x)
-
Похожие выражения
- (1-5/x)^(3*x)
-
Что Вы имели ввиду?
- ((1 + 5)/x)^(3*x)
- (1 + 5/x)^(3*x)
- (1 + 5/x)^(3*x)
Вы ввели:
(1+5/x)^(3*x)
Что Вы имели ввиду?
Предел функции (1+5/x)^(3*x)
Решение
Вы ввели
[src]
3*x
/ 5\
lim |1 + -|
x->oo\ x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{3 x}$$
Limit((1 + 5/x)^(3*x), x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{3 x}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{x}{5}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{3 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{15 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{15 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{15}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{15} = e^{15}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{3 x} = e^{15}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{3 x}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{x}{5}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{3 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{15 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{15 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{15}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{15} = e^{15}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{3 x} = e^{15}$$
Метод Лопиталя
К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{3 x} = e^{15}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{3 x} = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{3 x} = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{3 x} = 216$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{3 x} = 216$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{3 x} = e^{15}$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{3 x} = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{3 x} = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{3 x} = 216$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{3 x} = 216$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{3 x} = e^{15}$$
Подробнее при x→-oo
График