Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел (1+1/x)^x
-
Предел cot(x)
-
Предел tan(x)/x
-
Предел sin(5*x)/x
- График функции y =:
- (1+1/x)^x
- Производная:
- (1+1/x)^x
-
Идентичные выражения
- (один + один /x)^x
- (1 плюс 1 делить на x) в степени x
- (один плюс один делить на x) в степени x
- (1+1/x)x
- 1+1/xx
- 1+1/x^x
- (1+1 разделить на x)^x
-
Похожие выражения
- (1+1/x)^(x/2)
- (1-1/x)^x
- (1+1/x)^(x/3)
- (1+1/x)^(x^2)
-
Что Вы имели ввиду?
- ((1 + 1)/x)^x
- (1 + 1/x)^x
- (1 + 1/x)^x
Вы ввели:
(1+1/x)^x
Что Вы имели ввиду?
Предел функции (1+1/x)^x
Решение
Вы ввели
[src]
x
/ 1\
lim |1 + 1*-|
x->oo\ x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x}$$
Limit((1 + 1/x)^x, x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{x}{1}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right) = e$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x} = e$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{x}{1}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right) = e$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x} = e$$
Метод Лопиталя
К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x} = e$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x} = 2$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x} = 2$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x} = e$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x} = 2$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x} = 2$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x} = e$$
Подробнее при x→-oo
График