Предел функции (1+1/x)^5

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{5} = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x^{5} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{5}$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{5}}{x^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{5}}{\frac{d}{d x} x^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{4}}{x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 5 \left(x + 1\right)^{4}}{\frac{d}{d x} 5 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{3}}{x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 20 \left(x + 1\right)^{3}}{\frac{d}{d x} 20 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 60 \left(x + 1\right)^{2}}{\frac{d}{d x} 60 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{120 x + 120}{120 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(120 x + 120\right)}{\frac{d}{d x} 120 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 5 раз(а)