Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел atan(2*x)/x
-
Предел (1-cos(8*x))/(3*x^2)
-
Предел sin(n)/n^2
-
Предел (1-5/x)^x
-
Идентичные выражения
- (один - пять /x)^x
- (1 минус 5 делить на x) в степени x
- (один минус пять делить на x) в степени x
- (1-5/x)x
- 1-5/xx
- 1-5/x^x
- (1-5 разделить на x)^x
-
Похожие выражения
- (1+5/x)^x
-
Что Вы имели ввиду?
- ((1 - 1*5)/x)^x
- (1 - 5/x)^x
- (1 - 5/x)^x
Вы ввели:
(1-5/x)^x
Что Вы имели ввиду?
Предел функции (1-5/x)^x
Решение
Вы ввели
[src]
x
/ 5\
lim |1 - -|
x->oo\ x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{x}\right)^{x}$$
Limit((1 - 5/x)^x, x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{x}\right)^{x}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{x}{-5}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{x}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 5 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 5 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-5}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-5} = e^{-5}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{x}\right)^{x} = e^{-5}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{x}\right)^{x}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{x}{-5}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{x}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 5 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 5 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-5}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-5} = e^{-5}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{x}\right)^{x} = e^{-5}$$
Метод Лопиталя
К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{x}\right)^{x} = e^{-5}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 - \frac{5}{x}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 - \frac{5}{x}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 - \frac{5}{x}\right)^{x} = -4$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 - \frac{5}{x}\right)^{x} = -4$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 - \frac{5}{x}\right)^{x} = e^{-5}$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 - \frac{5}{x}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 - \frac{5}{x}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 - \frac{5}{x}\right)^{x} = -4$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 - \frac{5}{x}\right)^{x} = -4$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 - \frac{5}{x}\right)^{x} = e^{-5}$$
Подробнее при x→-oo
График