Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел 3+x^2
-
Предел (-9+x)/(-3+sqrt(x))
-
Предел (1-1/x)^x
-
Предел (1-cos(x))*cot(x)
- Производная:
- (1-1/x)^x
-
Идентичные выражения
- (один - один /x)^x
- (1 минус 1 делить на x) в степени x
- (один минус один делить на x) в степени x
- (1-1/x)x
- 1-1/xx
- 1-1/x^x
- (1-1 разделить на x)^x
-
Похожие выражения
- (1+1/x)^x
- (1-1/x)^(x^2)
-
Что Вы имели ввиду?
- ((1 - 1*1)/x)^x
- (1 - 1/x)^x
- (1 - 1/x)^x
Вы ввели:
(1-1/x)^x
Что Вы имели ввиду?
Предел функции (1-1/x)^x
Решение
Вы ввели
[src]
x
/ 1\
lim |1 - 1*-|
x->oo\ x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x}$$
Limit((1 - 1/x)^x, x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{x}{-1}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1} = e^{-1}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x} = e^{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{x}{-1}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1} = e^{-1}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x} = e^{-1}$$
Метод Лопиталя
К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x} = e^{-1}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x} = 0$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x} = 0$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x} = e^{-1}$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x} = 0$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x} = 0$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{x} = e^{-1}$$
Подробнее при x→-oo
График