Предел функции -x*exp(-x)

У нас есть неопределённость типа

-oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x\right) = -\infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} e^{x} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x e^{- x}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x e^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x\right)}{\frac{d}{d x} e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- e^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- e^{- x}\right)$$
=
$$0$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)