Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел (-8+(2+x)^3)/x
-
Предел 4+x
- Предел 5/(-9+x+x^4)
- Предел 2+x^3-3*x
-
Идентичные выражения
- (- восемь +(два +x)^ три)/x
- ( минус 8 плюс (2 плюс x) в кубе ) делить на x
- ( минус восемь плюс (два плюс x) в степени три) делить на x
- (-8+(2+x)3)/x
- -8+2+x3/x
- (-8+(2+x)³)/x
- (-8+(2+x) в степени 3)/x
- -8+2+x^3/x
- (-8+(2+x)^3) разделить на x
-
Похожие выражения
- (-8+(2-x)^3)/x
- (-8-(2+x)^3)/x
- (8+(2+x)^3)/x
Предел функции (-8+(2+x)^3)/x
Решение
Вы ввели
[src]
/ 3\
|-8 + (2 + x) |
lim |-------------|
x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3} - 8}{x}\right)$$
Limit((-8 + (2 + x)^3)/x, x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3} - 8}{x}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3} - 8}{x}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{6}{x} + \frac{12}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{6}{x} + \frac{12}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{12 u^{2} + 6 u + 1}{u^{2}}\right)$$
=
$$\frac{6 \cdot 0 + 12 \cdot 0^{2} + 1}{0} = \infty$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3} - 8}{x}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3} - 8}{x}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3} - 8}{x}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{6}{x} + \frac{12}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{6}{x} + \frac{12}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{12 u^{2} + 6 u + 1}{u^{2}}\right)$$
=
$$\frac{6 \cdot 0 + 12 \cdot 0^{2} + 1}{0} = \infty$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3} - 8}{x}\right) = \infty$$
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 2\right)^{3} - 8\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3} - 8}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\left(x + 2\right)^{3} - 8\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 \left(x + 2\right)^{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 \left(x + 2\right)^{2}\right)$$
=
$$\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
oo/oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 2\right)^{3} - 8\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3} - 8}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\left(x + 2\right)^{3} - 8\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 \left(x + 2\right)^{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 \left(x + 2\right)^{2}\right)$$
=
$$\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3} - 8}{x}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3} - 8}{x}\right) = 12$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3} - 8}{x}\right) = 12$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3} - 8}{x}\right) = 19$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3} - 8}{x}\right) = 19$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3} - 8}{x}\right) = \infty$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3} - 8}{x}\right) = 12$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3} - 8}{x}\right) = 12$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3} - 8}{x}\right) = 19$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3} - 8}{x}\right) = 19$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3} - 8}{x}\right) = \infty$$
Подробнее при x→-oo
График