Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел sqrt(n+n^2)-n
-
Предел n*(2+n)/(1+n)^2
-
Предел |x|
-
Предел cos(x)/x
-
Идентичные выражения
- sqrt(n+n^ два)-n
- квадратный корень из (n плюс n в квадрате ) минус n
- квадратный корень из (n плюс n в степени два) минус n
- √(n+n^2)-n
- sqrt(n+n2)-n
- sqrtn+n2-n
- sqrt(n+n²)-n
- sqrt(n+n в степени 2)-n
- sqrtn+n^2-n
-
Похожие выражения
- sqrt(n+n^2)+n
- sqrt(n-n^2)-n
Предел функции sqrt(n+n^2)-n
Решение
Вы ввели
[src]
/ ________ \
| / 2 |
lim \\/ n + n - n/
n->oo
$$\lim_{n \to \infty}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right)$$
Limit(sqrt(n + n^2) - n, n, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{n \to \infty}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right)$$
Устраним неопределённость oo - oo
Домножим и разделим на
$$n + \sqrt{n^{2} + n}$$
тогда
$$\lim_{n \to \infty}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) \left(n + \sqrt{n^{2} + n}\right)}{n + \sqrt{n^{2} + n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- n^{2} + \left(\sqrt{n^{2} + n}\right)^{2}}{n + \sqrt{n^{2} + n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + \sqrt{n^{2} + n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + \sqrt{n^{2} + n}}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на n:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{n^{2} + n}}{n}}$$ =
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{n^{2} + n}{n^{2}}} + 1}$$ =
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}$$
Сделаем замену
$$u = \frac{1}{n}$$
тогда
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}$$ =
$$\lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{u + 1} + 1}$$ =
= $$\frac{1}{1 + \sqrt{0 + 1}} = \frac{1}{2}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{n \to \infty}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right)$$
Устраним неопределённость oo - oo
Домножим и разделим на
$$n + \sqrt{n^{2} + n}$$
тогда
$$\lim_{n \to \infty}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) \left(n + \sqrt{n^{2} + n}\right)}{n + \sqrt{n^{2} + n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- n^{2} + \left(\sqrt{n^{2} + n}\right)^{2}}{n + \sqrt{n^{2} + n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + \sqrt{n^{2} + n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + \sqrt{n^{2} + n}}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на n:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{n^{2} + n}}{n}}$$ =
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{n^{2} + n}{n^{2}}} + 1}$$ =
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}$$
Сделаем замену
$$u = \frac{1}{n}$$
тогда
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}$$ =
$$\lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{u + 1} + 1}$$ =
= $$\frac{1}{1 + \sqrt{0 + 1}} = \frac{1}{2}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{n \to \infty}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) = \frac{1}{2}$$
Метод Лопиталя
К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo
График
Другие пределы при n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) = 0$$
Подробнее при n→0 слева
$$\lim_{n \to 0^+}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) = 0$$
Подробнее при n→0 справа
$$\lim_{n \to 1^-}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Подробнее при n→1 слева
$$\lim_{n \to 1^+}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Подробнее при n→1 справа
$$\lim_{n \to -\infty}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) = \infty$$
Подробнее при n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) = 0$$
Подробнее при n→0 слева
$$\lim_{n \to 0^+}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) = 0$$
Подробнее при n→0 справа
$$\lim_{n \to 1^-}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Подробнее при n→1 слева
$$\lim_{n \to 1^+}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Подробнее при n→1 справа
$$\lim_{n \to -\infty}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) = \infty$$
Подробнее при n→-oo
График