Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел (pi-2*atan(x))/(-1+e^(3/x))
-
Предел x*cot(4*x)
-
Предел -2+x^2-4/x
-
Предел 2^x/x^2
- Производная:
-
2^x/x^2
- График функции y =:
-
2^x/x^2
-
Идентичные выражения
- два ^x/x^ два
- 2 в степени x делить на x в квадрате
- два в степени x делить на x в степени два
- 2x/x2
- 2^x/x²
- 2 в степени x/x в степени 2
- 2^x разделить на x^2
-
Похожие выражения
- (-1+2^x)/x^2
- (-8+2^x)/(x^2-3*x)
-
Что Вы имели ввиду?
- 2^x/(x^2)
- 2^((x/x)^2)
- 2^((x/x)^2)
Вы ввели:
2^x/x^2
Что Вы имели ввиду?
Предел функции 2^x/x^2
Решение
Вы ввели
[src]
/ x\
|2 |
lim |--|
x->oo| 2|
\x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x}}{x^{2}}\right)$$
Limit(2^x/(x^2), x, oo, dir='-')
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty} 2^{x} = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x}}{x^{2}}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2^{x}}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2^{x} \log{\left(2 \right)}}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2}\right)$$
=
$$\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 2 раз(а)
oo/oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty} 2^{x} = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x}}{x^{2}}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2^{x}}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2^{x} \log{\left(2 \right)}}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2}\right)$$
=
$$\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 2 раз(а)
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x}}{x^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2^{x}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2^{x}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2^{x}}{x^{2}}\right) = 2$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2^{x}}{x^{2}}\right) = 2$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{x}}{x^{2}}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2^{x}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2^{x}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2^{x}}{x^{2}}\right) = 2$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2^{x}}{x^{2}}\right) = 2$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{x}}{x^{2}}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo
График