Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел 3+x^2
- Предел 2/(3-x)
-
Предел (9-x^2)/(-3+x)
-
Предел 1/(1+2^(1/x))
-
Идентичные выражения
- (девять -x^ два)/(- три +x)
- (9 минус x в квадрате ) делить на ( минус 3 плюс x)
- (девять минус x в степени два) делить на ( минус три плюс x)
- (9-x2)/(-3+x)
- 9-x2/-3+x
- (9-x²)/(-3+x)
- (9-x в степени 2)/(-3+x)
- 9-x^2/-3+x
- (9-x^2) разделить на (-3+x)
-
Похожие выражения
- (9-x^2)/(3+x)
- (9-x^2)/(-3-x)
- (9+x^2)/(-3+x)
Предел функции (9-x^2)/(-3+x)
Решение
Вы ввели
[src]
/ 2\
|9 - x |
lim |------|
x->oo\-3 + x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 9}{x - 3}\right)$$
Limit((9 - x^2)/(-3 + x), x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 9}{x - 3}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 9}{x - 3}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{9}{x^{2}}}{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{9}{x^{2}}}{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{9 u^{2} - 1}{- 3 u^{2} + u}\right)$$
=
$$\frac{-1 + 9 \cdot 0^{2}}{0 - 3 \cdot 0^{2}} = -\infty$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 9}{x - 3}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 9}{x - 3}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 9}{x - 3}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{9}{x^{2}}}{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{9}{x^{2}}}{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{9 u^{2} - 1}{- 3 u^{2} + u}\right)$$
=
$$\frac{-1 + 9 \cdot 0^{2}}{0 - 3 \cdot 0^{2}} = -\infty$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 9}{x - 3}\right) = -\infty$$
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + 9\right) = -\infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - 3\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 9}{x - 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + 9\right)}{\frac{d}{d x} \left(x - 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x\right)$$
=
$$-\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
-oo/oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + 9\right) = -\infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - 3\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 9}{x - 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + 9\right)}{\frac{d}{d x} \left(x - 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x\right)$$
=
$$-\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 9}{x - 3}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- x^{2} + 9}{x - 3}\right) = -3$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x^{2} + 9}{x - 3}\right) = -3$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- x^{2} + 9}{x - 3}\right) = -4$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- x^{2} + 9}{x - 3}\right) = -4$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + 9}{x - 3}\right) = \infty$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- x^{2} + 9}{x - 3}\right) = -3$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x^{2} + 9}{x - 3}\right) = -3$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- x^{2} + 9}{x - 3}\right) = -4$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- x^{2} + 9}{x - 3}\right) = -4$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + 9}{x - 3}\right) = \infty$$
Подробнее при x→-oo
График