Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел 1/(1+x^2)
-
Предел (1+sin(2*x))/(1-cos(4*x))
-
Предел sin(8*x)/tan(5*x)
-
Предел (4-x^2)/(2+x)
- Интеграл d{x}:
- (4-x^2)/(2+x)
-
Идентичные выражения
- (четыре -x^ два)/(два +x)
- (4 минус x в квадрате ) делить на (2 плюс x)
- (четыре минус x в степени два) делить на (два плюс x)
- (4-x2)/(2+x)
- 4-x2/2+x
- (4-x²)/(2+x)
- (4-x в степени 2)/(2+x)
- 4-x^2/2+x
- (4-x^2) разделить на (2+x)
-
Похожие выражения
- (4+x^2)/(2+x)
- (4-x^2)/(2-x)
Предел функции (4-x^2)/(2+x)
Решение
Вы ввели
[src]
/ 2\
|4 - x |
lim |------|
x->oo\2 + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 4}{x + 2}\right)$$
Limit((4 - x^2)/(2 + x), x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 4}{x + 2}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 4}{x + 2}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 u^{2} - 1}{2 u^{2} + u}\right)$$
=
$$\frac{-1 + 4 \cdot 0^{2}}{0 + 2 \cdot 0^{2}} = -\infty$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 4}{x + 2}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 4}{x + 2}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 4}{x + 2}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 u^{2} - 1}{2 u^{2} + u}\right)$$
=
$$\frac{-1 + 4 \cdot 0^{2}}{0 + 2 \cdot 0^{2}} = -\infty$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 4}{x + 2}\right) = -\infty$$
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + 4\right) = -\infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + 2\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 4}{x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + 4\right)}{\frac{d}{d x} \left(x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x\right)$$
=
$$-\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
-oo/oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + 4\right) = -\infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + 2\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 4}{x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + 4\right)}{\frac{d}{d x} \left(x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x\right)$$
=
$$-\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 4}{x + 2}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- x^{2} + 4}{x + 2}\right) = 2$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x^{2} + 4}{x + 2}\right) = 2$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- x^{2} + 4}{x + 2}\right) = 1$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- x^{2} + 4}{x + 2}\right) = 1$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + 4}{x + 2}\right) = \infty$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- x^{2} + 4}{x + 2}\right) = 2$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x^{2} + 4}{x + 2}\right) = 2$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- x^{2} + 4}{x + 2}\right) = 1$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- x^{2} + 4}{x + 2}\right) = 1$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + 4}{x + 2}\right) = \infty$$
Подробнее при x→-oo
График