Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл cos(x)^8
Интеграл 1/sqrt(1-x)^3
Интеграл 4/x^2
Интеграл 1/sin(x)^(22)
Производная:
x^2*log(3*x)
Идентичные выражения
x^ два *log(три *x)
x в квадрате умножить на логарифм от (3 умножить на x)
x в степени два умножить на логарифм от (три умножить на x)
x2*log(3*x)
x2*log3*x
x²*log(3*x)
x в степени 2*log(3*x)
x^2log(3x)
x2log(3x)
x2log3x
x^2log3x
x^2*log(3*x)dx

Интеграл x^2log(3x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1               
  /               
 |                
 |   2            
 |  x *log(3*x) dx
 |                
/                 
0

$$\int\limits_{0}^{1} x^{2} \log{\left(3 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $x^{2} \log{\left(3 x \right)} = x^{2} \log{\left(x \right)} + x^{2} \log{\left(3 \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$ :
    
    $\int u e^{3 u}\, du$
    1. Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(u \right)}$ :
      
      Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
      
      Метод #1
      
      пусть $u = 3 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 du$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{3 u}}{3}$
      
      Метод #2
      
      пусть $u = e^{3 u}$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 e^{3 u} du$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{1}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{3}\, du = \frac{\int 1\, du}{3}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{3 u}}{3}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{3 u}}{3}\, du = \frac{\int e^{3 u}\, du}{3}$
      
      пусть $u = 3 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 du$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{3 u}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{3 u}}{9}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int x^{2} \log{\left(3 \right)}\, dx = \log{\left(3 \right)} \int x^{2}\, dx$
    1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{x^{3} \log{\left(3 \right)}}{3}$
  Результат есть: $\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + \frac{x^{3} \log{\left(3 \right)}}{3}$
Метод #2
1. Используем интегрирование по частям:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(3 x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}$ .
  
  Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$ .
  
  Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
  1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
    
    $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$
  Теперь решаем под-интеграл.
2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \frac{x^{2}}{3}\, dx = \frac{\int x^{2}\, dx}{3}$
  1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
    
    $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{x^{3}}{9}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $x^{2} \log{\left(3 x \right)} = x^{2} \log{\left(x \right)} + x^{2} \log{\left(3 \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$ :
    
    $\int u e^{3 u}\, du$
    1. Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(u \right)}$ :
      
      пусть $u = 3 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 du$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{3 u}}{3}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{3 u}}{3}\, du = \frac{\int e^{3 u}\, du}{3}$
      
      пусть $u = 3 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 du$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{3 u}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{3 u}}{9}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int x^{2} \log{\left(3 \right)}\, dx = \log{\left(3 \right)} \int x^{2}\, dx$
    1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{x^{3} \log{\left(3 \right)}}{3}$
  Результат есть: $\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + \frac{x^{3} \log{\left(3 \right)}}{3}$
Теперь упростить:

$\frac{x^{3} \cdot \left(3 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(27 \right)}\right)}{9}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{x^{3} \cdot \left(3 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(27 \right)}\right)}{9}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{3} \cdot \left(3 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(27 \right)}\right)}{9}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                               
 |                       3    3           3       
 |  2                   x    x *log(3)   x *log(x)
 | x *log(3*x) dx = C - -- + --------- + ---------
 |                      9        3           3    
/

$${{x^3\,\log \left(3\,x\right)}\over{3}}-{{x^3}\over{9}}$$

Упростить

Ответ [src]

  1   log(3)
- - + ------
  9     3

$${{9\,\log 3-3}\over{27}}$$

  1   log(3)
- - + ------
  9     3

$$- \frac{1}{9} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{3}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.255092985111592

0.255092985111592

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл x^2log(3x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #2

Метод #3

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл x^2*log(3*x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #2

Метод #3

Интеграл x^2log(3x) d{x}