Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл e^tan(x)/cos(x)^2
Интеграл asin(x/5)
Интеграл (x^3)/(9+16*x^4)
Интеграл |x|*cos(x)
Идентичные выражения
(x^ два + три)/(x^ три -x^ два - шесть *x)
(x в квадрате плюс 3) делить на (x в кубе минус x в квадрате минус 6 умножить на x)
(x в степени два плюс три) делить на (x в степени три минус x в степени два минус шесть умножить на x)
(x2+3)/(x3-x2-6*x)
x2+3/x3-x2-6*x
(x²+3)/(x³-x²-6*x)
(x в степени 2+3)/(x в степени 3-x в степени 2-6*x)
(x^2+3)/(x^3-x^2-6x)
(x2+3)/(x3-x2-6x)
x2+3/x3-x2-6x
x^2+3/x^3-x^2-6x
(x^2+3) разделить на (x^3-x^2-6*x)
(x^2+3)/(x^3-x^2-6*x)dx
Похожие выражения
(x^2+3)/(x^3-x^2+6*x)
(x^2-3)/(x^3-x^2-6*x)
(x^2+3)/(x^3+x^2-6*x)

Решение интегралов/ (x^2+3)/(x^3-x^2-6*x)

Интеграл (x^2+3)/(x^3-x^2-6*x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                 
  /                 
 |                  
 |       2          
 |      x  + 3      
 |  ------------- dx
 |   3    2         
 |  x  - x  - 6*x   
 |                  
/                   
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2} + 3}{x^{3} - x^{2} - 6 x}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x^{2} + 3}{x^{3} - x^{2} - 6 x} = \frac{7}{10 \left(x + 2\right)} + \frac{4}{5 \left(x - 3\right)} - \frac{1}{2 x}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{7}{10 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{7 \int \frac{1}{x + 2}\, dx}{10}$
    1. пусть $u = x + 2$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x + 2 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{7 \log{\left(x + 2 \right)}}{10}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{4}{5 \left(x - 3\right)}\, dx = \frac{4 \int \frac{1}{x - 3}\, dx}{5}$
    1. пусть $u = x - 3$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 3 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{4 \log{\left(x - 3 \right)}}{5}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{2 x}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{2}$
    1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$ .
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x \right)}}{2}$
  Результат есть: $- \frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{4 \log{\left(x - 3 \right)}}{5} + \frac{7 \log{\left(x + 2 \right)}}{10}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x^{2} + 3}{x^{3} - x^{2} - 6 x} = \frac{x^{2}}{x^{3} - x^{2} - 6 x} + \frac{3}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{x^{2}}{x^{3} - x^{2} - 6 x} = \frac{2}{5 \left(x + 2\right)} + \frac{3}{5 \left(x - 3\right)}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{2}{5 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{2 \int \frac{1}{x + 2}\, dx}{5}$
      
      пусть $u = x + 2$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x + 2 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{2 \log{\left(x + 2 \right)}}{5}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{3}{5 \left(x - 3\right)}\, dx = \frac{3 \int \frac{1}{x - 3}\, dx}{5}$
      
      пусть $u = x - 3$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 3 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{3 \log{\left(x - 3 \right)}}{5}$
    Результат есть: $\frac{3 \log{\left(x - 3 \right)}}{5} + \frac{2 \log{\left(x + 2 \right)}}{5}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{3}{x^{3} - x^{2} - 6 x}\, dx = 3 \int \frac{1}{x^{3} - x^{2} - 6 x}\, dx$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{1}{x^{3} - x^{2} - 6 x} = \frac{1}{10 \left(x + 2\right)} + \frac{1}{15 \left(x - 3\right)} - \frac{1}{6 x}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{10 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 2}\, dx}{10}$
      
      пусть $u = x + 2$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x + 2 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{10}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{15 \left(x - 3\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 3}\, dx}{15}$
      
      пусть $u = x - 3$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 3 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{15}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{6 x}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{6}$
      
      Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x \right)}}{6}$
      
      Результат есть: $- \frac{\log{\left(x \right)}}{6} + \frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{15} + \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{10}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{5} + \frac{3 \log{\left(x + 2 \right)}}{10}$
  Результат есть: $- \frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{4 \log{\left(x - 3 \right)}}{5} + \frac{7 \log{\left(x + 2 \right)}}{10}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- \frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{4 \log{\left(x - 3 \right)}}{5} + \frac{7 \log{\left(x + 2 \right)}}{10}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{4 \log{\left(x - 3 \right)}}{5} + \frac{7 \log{\left(x + 2 \right)}}{10}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                            
 |                                                             
 |      2                                                      
 |     x  + 3             log(x)   4*log(-3 + x)   7*log(2 + x)
 | ------------- dx = C - ------ + ------------- + ------------
 |  3    2                  2            5              10     
 | x  - x  - 6*x                                               
 |                                                             
/

$${{7\,\log \left(x+2\right)}\over{10}}-{{\log x}\over{2}}+{{4\,\log \left(x-3\right)}\over{5}}$$

Упростить

Ответ [src]

      4*pi*I
-oo + ------
        5

$${\it \%a}$$

      4*pi*I
-oo + ------
        5

$$-\infty + \frac{4 i \pi}{5}$$

Упростить

Численный ответ [src]

-22.0857695778073

-22.0857695778073

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (x^2+3)/(x^3-x^2-6*x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2