Интеграл x*sin(8*x) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(8 x \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. пусть $u = 8 x$.

      Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{64}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{8}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{8}$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{8}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \left(- \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{8}$

   1. пусть $u = 8 x$.

      Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{64}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{x \cos{\left(8 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{x \cos{\left(8 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}$