Интеграл x*asin(x/2) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{x^{2}}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}\, dx}{4}$

   SqrtQuadraticDenomRule(a=1, b=0, c=-1/4, coeffs=[1, 0, 0], context=x**2/sqrt(1 - x**2/4), symbol=x)

   Таким образом, результат будет: $- \frac{x \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}{2} + \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{4} - \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{4} - \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{4} - \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$