Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл (cos(4*x-5)+2*x^-7+3)
Интеграл x/(x^8-1)
Интеграл 1/2*e^x
Интеграл e^cot(x)/sin(x)^(2)
Идентичные выражения
x/(x^ восемь - один)
x делить на (x в степени 8 минус 1)
x делить на (x в степени восемь минус один)
x/(x8-1)
x/x8-1
x/(x⁸-1)
x/x^8-1
x разделить на (x^8-1)
x/(x^8-1)dx
Похожие выражения
x/(x^8+1)

Интеграл x/(x^8-1) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1          
  /          
 |           
 |    x      
 |  ------ dx
 |   8       
 |  x  - 1   
 |           
/            
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{x^{8} - 1}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = x^{2}$ .
  
  Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int \frac{1}{2 u^{4} - 2}\, du$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{1}{2 u^{4} - 2} = - \frac{1}{8 \left(u + 1\right)} + \frac{1}{8 \left(u - 1\right)} - \frac{1}{4 \left(u^{2} + 1\right)}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{8 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{8}$
      
      пусть $u = u + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(u + 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{8}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{8 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{8}$
      
      пусть $u = u - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(u - 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{8}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{4 \left(u^{2} + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u^{2} + 1}\, du}{4}$
      
      Интеграл $\frac{1}{u^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}{4}$
    Результат есть: $\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{8} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{8} - \frac{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}{4}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{8} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{8} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}{4}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x}{x^{8} - 1} = - \frac{x}{2 \left(x^{4} + 1\right)} - \frac{x}{4 \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{1}{8 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{8 \left(x - 1\right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{x}{2 \left(x^{4} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{x}{x^{4} + 1}\, dx}{2}$
    1. пусть $u = x^{2}$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u^{2} + 2}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u^{2} + 1}$ есть $\frac{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}{4}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{x}{4 \left(x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx}{4}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = x^{2} + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{8}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{1}{8 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{8}$
    1. пусть $u = x + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x + 1 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{8}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{1}{8 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{8}$
    1. пусть $u = x - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 1 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{8}$
  Результат есть: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{8} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{8} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{8} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}{4}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{8} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{8} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{8} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{8} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                     
 |                     / 2\      /     2\      /      2\
 |   x             atan\x /   log\1 + x /   log\-1 + x /
 | ------ dx = C - -------- - ----------- + ------------
 |  8                 4            8             8      
 | x  - 1                                               
 |                                                      
/

$$-{{\log \left(x^2+1\right)}\over{8}}-{{\arctan x^2}\over{4}}+{{ \log \left(x^2-1\right)}\over{8}}$$

Упростить

Ответ [src]

      pi*I
-oo - ----
       8

$${\it \%a}$$

      pi*I
-oo - ----
       8

$$-\infty - \frac{i \pi}{8}$$

Упростить

Численный ответ [src]

-5.70771913912614

-5.70771913912614

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл x/(x^8-1) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2