Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл 3*cos(2*x)
Интеграл atan(y/x)
Интеграл cos(3-4*x)
Интеграл x/(16-x^4)
Идентичные выражения
x/(шестнадцать -x^ четыре)
x делить на (16 минус x в степени 4)
x делить на (шестнадцать минус x в степени четыре)
x/(16-x4)
x/16-x4
x/(16-x⁴)
x/16-x^4
x разделить на (16-x^4)
x/(16-x^4)dx
Похожие выражения
x/(16+x^4)

Решение интегралов/ x/(16-x^4)

Интеграл x/(16-x^4) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1           
  /           
 |            
 |     x      
 |  ------- dx
 |        4   
 |  16 - x    
 |            
/             
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{- x^{4} + 16}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = x^{2}$ .
  
  Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $- du$ :
  
  $\int \frac{1}{2 u^{2} - 32}\, du$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{2 u^{2} - 32}\right)\, du = - \int \frac{1}{2 u^{2} - 32}\, du$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{1}{2 u^{2} - 32} = \frac{- \frac{1}{u + 4} + \frac{1}{u - 4}}{16}$
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{- \frac{1}{u + 4} + \frac{1}{u - 4}}{16}\, du = \frac{\int \left(- \frac{1}{u + 4} + \frac{1}{u - 4}\right)\, du}{16}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл $\frac{1}{u - 4}$ есть $\log{\left(u - 4 \right)}$ .
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{u + 4}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 4}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u + 4}$ есть $\log{\left(u + 4 \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u + 4 \right)}$
      
      Результат есть: $\log{\left(u - 4 \right)} - \log{\left(u + 4 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u - 4 \right)}}{16} - \frac{\log{\left(u + 4 \right)}}{16}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(u - 4 \right)}}{16} + \frac{\log{\left(u + 4 \right)}}{16}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $- \frac{\log{\left(x^{2} - 4 \right)}}{16} + \frac{\log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{16}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x}{16 - x^{4}} = \frac{x}{8 \left(x^{2} + 4\right)} - \frac{1}{16 \left(x + 2\right)} - \frac{1}{16 \left(x - 2\right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{x}{8 \left(x^{2} + 4\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x}{x^{2} + 4}\, dx}{8}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{x}{x^{2} + 4}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 4}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = x^{2} + 4$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x^{2} + 4 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{16}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{16 \left(x + 2\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 2}\, dx}{16}$
    1. пусть $u = x + 2$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x + 2 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{16}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{16 \left(x - 2\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{16}$
    1. пусть $u = x - 2$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 2 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{16}$
  Результат есть: $- \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{16} - \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{16} + \frac{\log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{16}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x}{16 - x^{4}} = - \frac{x}{x^{4} - 16}$
2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- \frac{x}{x^{4} - 16}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x^{4} - 16}\, dx$
  1. пусть $u = x^{2}$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int \frac{1}{2 u^{2} - 32}\, du$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{1}{2 u^{2} - 32} = \frac{- \frac{1}{u + 4} + \frac{1}{u - 4}}{16}$
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{- \frac{1}{u + 4} + \frac{1}{u - 4}}{16}\, du = \frac{\int \left(- \frac{1}{u + 4} + \frac{1}{u - 4}\right)\, du}{16}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл $\frac{1}{u - 4}$ есть $\log{\left(u - 4 \right)}$ .
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{u + 4}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 4}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u + 4}$ есть $\log{\left(u + 4 \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u + 4 \right)}$
      
      Результат есть: $\log{\left(u - 4 \right)} - \log{\left(u + 4 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u - 4 \right)}}{16} - \frac{\log{\left(u + 4 \right)}}{16}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\log{\left(x^{2} - 4 \right)}}{16} - \frac{\log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{16}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x^{2} - 4 \right)}}{16} + \frac{\log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{16}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- \frac{\log{\left(x^{2} - 4 \right)}}{16} + \frac{\log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{16}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\log{\left(x^{2} - 4 \right)}}{16} + \frac{\log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{16}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                           
 |                     /      2\      /     2\
 |    x             log\-4 + x /   log\4 + x /
 | ------- dx = C - ------------ + -----------
 |       4               16             16    
 | 16 - x                                     
 |                                            
/

$${{\log \left(x^2+4\right)}\over{16}}-{{\log \left(x^2-4\right) }\over{16}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

  log(3)   log(5)
- ------ + ------
    16       16

$${{\log 5}\over{16}}-{{\log 3}\over{16}}$$

  log(3)   log(5)
- ------ + ------
    16       16

$$- \frac{\log{\left(3 \right)}}{16} + \frac{\log{\left(5 \right)}}{16}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.0319266014853744

0.0319266014853744

График

$Интеграл x/(16-x^4) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл x/(16-x^4) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3