Интеграл 3*x*(1-x)^17 d{x}

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 3 x \left(1 - x\right)^{17}\, dx = 3 \int x \left(1 - x\right)^{17}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $x \left(1 - x\right)^{17} = - x^{18} + 17 x^{17} - 136 x^{16} + 680 x^{15} - 2380 x^{14} + 6188 x^{13} - 12376 x^{12} + 19448 x^{11} - 24310 x^{10} + 24310 x^{9} - 19448 x^{8} + 12376 x^{7} - 6188 x^{6} + 2380 x^{5} - 680 x^{4} + 136 x^{3} - 17 x^{2} + x$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- x^{18}\right)\, dx = - \int x^{18}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{18}\, dx = \frac{x^{19}}{19}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{19}}{19}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 17 x^{17}\, dx = 17 \int x^{17}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{17 x^{18}}{18}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 136 x^{16}\right)\, dx = - 136 \int x^{16}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{16}\, dx = \frac{x^{17}}{17}$

         Таким образом, результат будет: $- 8 x^{17}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 680 x^{15}\, dx = 680 \int x^{15}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{85 x^{16}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 2380 x^{14}\right)\, dx = - 2380 \int x^{14}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{476 x^{15}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 6188 x^{13}\, dx = 6188 \int x^{13}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Таким образом, результат будет: $442 x^{14}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 12376 x^{12}\right)\, dx = - 12376 \int x^{12}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Таким образом, результат будет: $- 952 x^{13}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 19448 x^{11}\, dx = 19448 \int x^{11}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{4862 x^{12}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 24310 x^{10}\right)\, dx = - 24310 \int x^{10}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Таким образом, результат будет: $- 2210 x^{11}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 24310 x^{9}\, dx = 24310 \int x^{9}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $2431 x^{10}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 19448 x^{8}\right)\, dx = - 19448 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{19448 x^{9}}{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 12376 x^{7}\, dx = 12376 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $1547 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 6188 x^{6}\right)\, dx = - 6188 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $- 884 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2380 x^{5}\, dx = 2380 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1190 x^{6}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 680 x^{4}\right)\, dx = - 680 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $- 136 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 136 x^{3}\, dx = 136 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $34 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 17 x^{2}\right)\, dx = - 17 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{17 x^{3}}{3}$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Результат есть: $- \frac{x^{19}}{19} + \frac{17 x^{18}}{18} - 8 x^{17} + \frac{85 x^{16}}{2} - \frac{476 x^{15}}{3} + 442 x^{14} - 952 x^{13} + \frac{4862 x^{12}}{3} - 2210 x^{11} + 2431 x^{10} - \frac{19448 x^{9}}{9} + 1547 x^{8} - 884 x^{7} + \frac{1190 x^{6}}{3} - 136 x^{5} + 34 x^{4} - \frac{17 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{3 x^{19}}{19} + \frac{17 x^{18}}{6} - 24 x^{17} + \frac{255 x^{16}}{2} - 476 x^{15} + 1326 x^{14} - 2856 x^{13} + 4862 x^{12} - 6630 x^{11} + 7293 x^{10} - \frac{19448 x^{9}}{3} + 4641 x^{8} - 2652 x^{7} + 1190 x^{6} - 408 x^{5} + 102 x^{4} - 17 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2} \left(- 18 x^{17} + 323 x^{16} - 2736 x^{15} + 14535 x^{14} - 54264 x^{13} + 151164 x^{12} - 325584 x^{11} + 554268 x^{10} - 755820 x^{9} + 831402 x^{8} - 739024 x^{7} + 529074 x^{6} - 302328 x^{5} + 135660 x^{4} - 46512 x^{3} + 11628 x^{2} - 1938 x + 171\right)}{114}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2} \left(- 18 x^{17} + 323 x^{16} - 2736 x^{15} + 14535 x^{14} - 54264 x^{13} + 151164 x^{12} - 325584 x^{11} + 554268 x^{10} - 755820 x^{9} + 831402 x^{8} - 739024 x^{7} + 529074 x^{6} - 302328 x^{5} + 135660 x^{4} - 46512 x^{3} + 11628 x^{2} - 1938 x + 171\right)}{114}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2} \left(- 18 x^{17} + 323 x^{16} - 2736 x^{15} + 14535 x^{14} - 54264 x^{13} + 151164 x^{12} - 325584 x^{11} + 554268 x^{10} - 755820 x^{9} + 831402 x^{8} - 739024 x^{7} + 529074 x^{6} - 302328 x^{5} + 135660 x^{4} - 46512 x^{3} + 11628 x^{2} - 1938 x + 171\right)}{114}+ \mathrm{constant}$