Интеграл (3*x+1)^3 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 x + 1$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{3}}{9}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{3}}{3}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{3}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{4}}{12}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(3 x + 1\right)^{4}}{12}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(3 x + 1\right)^{3} = 27 x^{3} + 27 x^{2} + 9 x + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 27 x^{3}\, dx = 27 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{27 x^{4}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 27 x^{2}\, dx = 27 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $9 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 9 x\, dx = 9 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{9 x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $\frac{27 x^{4}}{4} + 9 x^{3} + \frac{9 x^{2}}{2} + x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(3 x + 1\right)^{4}}{12}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(3 x + 1\right)^{4}}{12}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(3 x + 1\right)^{4}}{12}+ \mathrm{constant}$