Интеграл (3+5*x)^2 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 5 x + 3$.

      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{u^{2}}{25}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{2}}{5}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{5}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{15}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(5 x + 3\right)^{3}}{15}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(5 x + 3\right)^{2} = 25 x^{2} + 30 x + 9$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 25 x^{2}\, dx = 25 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{25 x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 30 x\, dx = 30 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $15 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 9\, dx = 9 x$

      Результат есть: $\frac{25 x^{3}}{3} + 15 x^{2} + 9 x$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(5 x + 3\right)^{3}}{15}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(5 x + 3\right)^{3}}{15}+ \mathrm{constant}$