Интеграл tan(x)*sec(x)^(2) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \tan{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ и подставим $du$:

      $\int u\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2}$

   Метод #2

   1. пусть $u = \sec^{2}{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{\int 1\, du}{2}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$

   Метод #3

   1. пусть $u = \sec{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

      $\int u\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$