Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл sin(3*x)/cos(x)
Интеграл cos(x)/4
Интеграл cos(2*x)^2
Интеграл dx/(x^2+9)
Идентичные выражения
sin(три *x)/cos(x)
синус от (3 умножить на x) делить на косинус от (x)
синус от (три умножить на x) делить на косинус от (x)
sin(3x)/cos(x)
sin3x/cosx
sin(3*x) разделить на cos(x)
sin(3*x)/cos(x)dx
Похожие выражения
sin(3*x)/cosx

Решение интегралов/ sin(3*x)/cos(x)

Интеграл sin(3*x)/cos(x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1            
  /            
 |             
 |  sin(3*x)   
 |  -------- dx
 |   cos(x)    
 |             
/              
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = - \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
Интегрируем почленно:
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right)\, dx = - 4 \int \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = \frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
  2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
    Метод #1
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{u^{2} - 1}{u}\, du$
      
      пусть $u = u^{2}$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 u du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{u - 1}{4 u}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{u - 1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{u - 1}{u}\, du}{2}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$
      
      Результат есть: $u - \log{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{u^{2}}{2} - \frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
    Метод #2
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = \frac{- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
    2. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{u^{2} - 1}{u}\, du$
      
      пусть $u = u^{2}$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 u du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{u - 1}{4 u}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{u - 1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{u - 1}{u}\, du}{2}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$
      
      Результат есть: $u - \log{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{u^{2}}{2} - \frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
    Метод #3
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$
      
      Результат есть: $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
  Таким образом, результат будет: $2 \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx = 3 \int \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx$
  1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
    
    $\int \frac{1}{u}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$
      1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$
  Таким образом, результат будет: $- 3 \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$
Результат есть: $- 3 \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2 \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- 3 \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2 \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- 3 \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2 \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                            
 |                                                             
 | sin(3*x)                               2           /   2   \
 | -------- dx = C - 3*log(cos(x)) - 2*cos (x) + 2*log\cos (x)/
 |  cos(x)                                                     
 |                                                             
/

$${{\log \left(\sin ^2x-1\right)}\over{2}}+{{\sin ^2x}\over{2}}-{{3\, \cos ^2x}\over{2}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

                         2           /   2   \
2 - 3*log(cos(1)) - 2*cos (1) + 2*log\cos (1)/

$${{\log \left(1-\sin ^21\right)}\over{2}}+{{\sin ^21}\over{2}}-{{3\, \cos ^21}\over{2}}+{{3}\over{2}}$$

                         2           /   2   \
2 - 3*log(cos(1)) - 2*cos (1) + 2*log\cos (1)/

$$2 \log{\left(\cos^{2}{\left(1 \right)} \right)} - 2 \cos^{2}{\left(1 \right)} - 3 \log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)} + 2$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.800520366161128

0.800520366161128

График

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл sin(3*x)/cos(x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3