Интеграл (7*x-8)^4 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 7 x - 8$.

      Тогда пусть $du = 7 dx$ и подставим $\frac{du}{7}$:

      $\int \frac{u^{4}}{49}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{4}}{7}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{7}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{5}}{35}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(7 x - 8\right)^{5}}{35}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(7 x - 8\right)^{4} = 2401 x^{4} - 10976 x^{3} + 18816 x^{2} - 14336 x + 4096$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2401 x^{4}\, dx = 2401 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{2401 x^{5}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 10976 x^{3}\right)\, dx = - 10976 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- 2744 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 18816 x^{2}\, dx = 18816 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $6272 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 14336 x\right)\, dx = - 14336 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 7168 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 4096\, dx = 4096 x$

      Результат есть: $\frac{2401 x^{5}}{5} - 2744 x^{4} + 6272 x^{3} - 7168 x^{2} + 4096 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(7 x - 8\right)^{5}}{35}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(7 x - 8\right)^{5}}{35}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(7 x - 8\right)^{5}}{35}+ \mathrm{constant}$