Интеграл (7+5*x)^13 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 5 x + 7$.

      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{u^{13}}{25}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{13}}{5}\, du = \frac{\int u^{13}\, du}{5}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{13}\, du = \frac{u^{14}}{14}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{14}}{70}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(5 x + 7\right)^{14}}{70}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(5 x + 7\right)^{13} = 1220703125 x^{13} + 22216796875 x^{12} + 186621093750 x^{11} + 957988281250 x^{10} + 3352958984375 x^{9} + 8449456640625 x^{8} + 15772319062500 x^{7} + 22081246687500 x^{6} + 23185309021875 x^{5} + 18033018128125 x^{4} + 10098490151750 x^{3} + 3855787148850 x^{2} + 899683668065 x + 96889010407$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1220703125 x^{13}\, dx = 1220703125 \int x^{13}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1220703125 x^{14}}{14}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 22216796875 x^{12}\, dx = 22216796875 \int x^{12}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Таким образом, результат будет: $1708984375 x^{13}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 186621093750 x^{11}\, dx = 186621093750 \int x^{11}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{31103515625 x^{12}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 957988281250 x^{10}\, dx = 957988281250 \int x^{10}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Таким образом, результат будет: $87089843750 x^{11}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3352958984375 x^{9}\, dx = 3352958984375 \int x^{9}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{670591796875 x^{10}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 8449456640625 x^{8}\, dx = 8449456640625 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $938828515625 x^{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 15772319062500 x^{7}\, dx = 15772319062500 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3943079765625 x^{8}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 22081246687500 x^{6}\, dx = 22081246687500 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $3154463812500 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 23185309021875 x^{5}\, dx = 23185309021875 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{7728436340625 x^{6}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 18033018128125 x^{4}\, dx = 18033018128125 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $3606603625625 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 10098490151750 x^{3}\, dx = 10098490151750 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{5049245075875 x^{4}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3855787148850 x^{2}\, dx = 3855787148850 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $1285262382950 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 899683668065 x\, dx = 899683668065 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{899683668065 x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 96889010407\, dx = 96889010407 x$

      Результат есть: $\frac{1220703125 x^{14}}{14} + 1708984375 x^{13} + \frac{31103515625 x^{12}}{2} + 87089843750 x^{11} + \frac{670591796875 x^{10}}{2} + 938828515625 x^{9} + \frac{3943079765625 x^{8}}{2} + 3154463812500 x^{7} + \frac{7728436340625 x^{6}}{2} + 3606603625625 x^{5} + \frac{5049245075875 x^{4}}{2} + 1285262382950 x^{3} + \frac{899683668065 x^{2}}{2} + 96889010407 x$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(5 x + 7\right)^{14}}{70}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(5 x + 7\right)^{14}}{70}+ \mathrm{constant}$