Интеграл (5-9*x)^8 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 5 - 9 x$.

      Тогда пусть $du = - 9 dx$ и подставим $- \frac{du}{9}$:

      $\int \frac{u^{8}}{81}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{u^{8}}{9}\right)\, du = - \frac{\int u^{8}\, du}{9}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{9}}{81}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\left(5 - 9 x\right)^{9}}{81}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(5 - 9 x\right)^{8} = 43046721 x^{8} - 191318760 x^{7} + 372008700 x^{6} - 413343000 x^{5} + 287043750 x^{4} - 127575000 x^{3} + 35437500 x^{2} - 5625000 x + 390625$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 43046721 x^{8}\, dx = 43046721 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $4782969 x^{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 191318760 x^{7}\right)\, dx = - 191318760 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $- 23914845 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 372008700 x^{6}\, dx = 372008700 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $53144100 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 413343000 x^{5}\right)\, dx = - 413343000 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- 68890500 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 287043750 x^{4}\, dx = 287043750 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $57408750 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 127575000 x^{3}\right)\, dx = - 127575000 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- 31893750 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 35437500 x^{2}\, dx = 35437500 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $11812500 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 5625000 x\right)\, dx = - 5625000 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 2812500 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 390625\, dx = 390625 x$

      Результат есть: $4782969 x^{9} - 23914845 x^{8} + 53144100 x^{7} - 68890500 x^{6} + 57408750 x^{5} - 31893750 x^{4} + 11812500 x^{3} - 2812500 x^{2} + 390625 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(9 x - 5\right)^{9}}{81}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(9 x - 5\right)^{9}}{81}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(9 x - 5\right)^{9}}{81}+ \mathrm{constant}$