Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл e^tan(x)/cos(x)^2
Интеграл asin(x/5)
Интеграл (x^3)/(9+16*x^4)
Интеграл |x|*cos(x)
Идентичные выражения
(один + три *cos(два *x))^ два
(1 плюс 3 умножить на косинус от (2 умножить на x)) в квадрате
(один плюс три умножить на косинус от (два умножить на x)) в степени два
(1+3*cos(2*x))2
1+3*cos2*x2
(1+3*cos(2*x))²
(1+3*cos(2*x)) в степени 2
(1+3cos(2x))^2
(1+3cos(2x))2
1+3cos2x2
1+3cos2x^2
(1+3*cos(2*x))^2dx
Похожие выражения
(1-3*cos(2*x))^2

Решение интегралов/ (1+3*cos(2*x))^2

Интеграл (1+3cos(2x))^2 d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                     
  /                     
 |                      
 |                  2   
 |  (1 + 3*cos(2*x))  dx
 |                      
/                       
0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(3 \cos{\left(2 x \right)} + 1\right)^{2}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(3 \cos{\left(2 x \right)} + 1\right)^{2} = 9 \cos^{2}{\left(2 x \right)} + 6 \cos{\left(2 x \right)} + 1$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 9 \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx = 9 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{9 x}{2} + \frac{9 \sin{\left(4 x \right)}}{8}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 6 \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 6 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $3 \sin{\left(2 x \right)}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int 1\, dx = x$
  Результат есть: $\frac{11 x}{2} + 3 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{9 \sin{\left(4 x \right)}}{8}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(3 \cos{\left(2 x \right)} + 1\right)^{2} = 9 \cos^{2}{\left(2 x \right)} + 6 \cos{\left(2 x \right)} + 1$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 9 \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx = 9 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{9 x}{2} + \frac{9 \sin{\left(4 x \right)}}{8}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 6 \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 6 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $3 \sin{\left(2 x \right)}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int 1\, dx = x$
  Результат есть: $\frac{11 x}{2} + 3 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{9 \sin{\left(4 x \right)}}{8}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{11 x}{2} + 3 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{9 \sin{\left(4 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{11 x}{2} + 3 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{9 \sin{\left(4 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                         
 |                                                          
 |                 2                       9*sin(4*x)   11*x
 | (1 + 3*cos(2*x))  dx = C + 3*sin(2*x) + ---------- + ----
 |                                             8         2  
/

$${{9\,\left({{\sin \left(4\,x\right)}\over{2}}+2\,x\right)}\over{4}} +3\,\sin \left(2\,x\right)+x$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

                    2           2                     
               9*cos (2)   9*sin (2)   9*cos(2)*sin(2)
1 + 3*sin(2) + --------- + --------- + ---------------
                   2           2              4

$${{{{9\,\sin 4+36}\over{4}}+6\,\sin 2+2}\over{2}}$$

                    2           2                     
               9*cos (2)   9*sin (2)   9*cos(2)*sin(2)
1 + 3*sin(2) + --------- + --------- + ---------------
                   2           2              4

$$\frac{9 \sin{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{4} + \frac{9 \cos^{2}{\left(2 \right)}}{2} + 1 + 3 \sin{\left(2 \right)} + \frac{9 \sin^{2}{\left(2 \right)}}{2}$$

Упростить

Численный ответ [src]

7.37648947325563

7.37648947325563

График

$Интеграл (1+3*cos(2*x))^2 d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (1+3cos(2x))^2 d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2