Интеграл (1+2*log(x))/x d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

      $\int \left(2 u + 1\right)\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $u^{2}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Результат есть: $u^{2} + u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{2 \log{\left(x \right)} + 1}{x} = \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x} + \frac{1}{x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x}\, dx = 2 \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx$

         1. пусть $u = \frac{1}{x}$.

            Тогда пусть $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ и подставим $- du$:

            $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$

               1. пусть $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Тогда пусть $du = - \frac{du}{u}$ и подставим $- du$:

                  $\int u\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\log{\left(x \right)}^{2}$

      1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$.

      Результат есть: $\log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)}$

2. Теперь упростить:

   $\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$