Интеграл log(log(x)) d{x}

1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$.

   Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

   $\int e^{u} \log{\left(u \right)}\, du$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \log{\left(u \right)}$.

         Тогда пусть $du = \frac{du}{u}$ и подставим $du$:

         $\int u e^{u} e^{e^{u}}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u} e^{e^{u}}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. пусть $u = e^{u}$.

               Тогда пусть $du = e^{u} du$ и подставим $du$:

               $\int e^{u}\, du$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $e^{e^{u}}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. пусть $u = e^{u}$.

            Тогда пусть $du = e^{u} du$ и подставим $du$:

            $\int \frac{e^{u}}{u}\, du$

            EiRule(a=1, b=0, context=exp(_u)/_u, symbol=_u)

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\operatorname{Ei}{\left(e^{u} \right)}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $e^{u} \log{\left(u \right)} - \operatorname{Ei}{\left(u \right)}$

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

         Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Теперь решаем под-интеграл.

         EiRule(a=1, b=0, context=exp(_u)/_u, symbol=_u)

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $x \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \operatorname{Ei}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \operatorname{Ei}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \operatorname{Ei}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$