Господин Экзамен

Другие калькуляторы


log(4*x-1)

Интеграл log(4*x-1) d{x}

Пределы интегрирования:

от до
v

График:

от до

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src]
  1                
  /                
 |                 
 |  log(4*x - 1) dx
 |                 
/                  
0                  
$$\int\limits_{0}^{1} \log{\left(4 x - 1 \right)}\, dx$$
Подробное решение
  1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

    Метод #1

    1. пусть .

      Тогда пусть и подставим :

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Используем интегрирование по частям:

          пусть и пусть .

          Затем .

          Чтобы найти :

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          Теперь решаем под-интеграл.

        2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        Таким образом, результат будет:

      Если сейчас заменить ещё в:

    Метод #2

    1. Используем интегрирование по частям:

      пусть и пусть .

      Затем .

      Чтобы найти :

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      Теперь решаем под-интеграл.

    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл есть .

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        Результат есть:

      Таким образом, результат будет:

  2. Теперь упростить:

  3. Добавляем постоянную интегрирования:


Ответ:

Ответ (Неопределённый) [src]
  /                                                    
 |                   1           (4*x - 1)*log(4*x - 1)
 | log(4*x - 1) dx = - + C - x + ----------------------
 |                   4                     4           
/                                                      
$${{\left(4\,x-1\right)\,\log \left(4\,x-1\right)-4\,x+1}\over{4}}$$
График
Ответ [src]
     3*log(3)   pi*I
-1 + -------- + ----
        4        4  
$${{3\,\log 3+\log \left(-1\right)-4}\over{4}}$$
=
=
     3*log(3)   pi*I
-1 + -------- + ----
        4        4  
$$-1 + \frac{3 \log{\left(3 \right)}}{4} + \frac{i \pi}{4}$$
Численный ответ [src]
(-0.186970083773166 + 0.799158934485692j)
(-0.186970083773166 + 0.799158934485692j)
График
Интеграл log(4*x-1) d{x}

    Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.