Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл sin(x)^4
Интеграл ((sin(x))^4)*((cos(x))^4)
Интеграл cos(x)/sqrt(2*sin(x))+1
Интеграл cos(x)^4*sin(x)^2
Идентичные выражения
cos(x)*cos(три *x)*cos(пять *x)
косинус от (x) умножить на косинус от (3 умножить на x) умножить на косинус от (5 умножить на x)
косинус от (x) умножить на косинус от (три умножить на x) умножить на косинус от (пять умножить на x)
cos(x)cos(3x)cos(5x)
cosxcos3xcos5x
cos(x)*cos(3*x)*cos(5*x)dx
Похожие выражения
cosx*cos(3*x)*cos(5*x)

Решение интегралов/ cos(x)*cos(3*x)*cos(5*x)

Интеграл cos(x)cos(3x)cos(5x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                            
  /                            
 |                             
 |  cos(x)*cos(3*x)*cos(5*x) dx
 |                             
/                              
0

$$\int\limits_{0}^{1} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\cos{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} = 64 \cos^{9}{\left(x \right)} - 128 \cos^{7}{\left(x \right)} + 80 \cos^{5}{\left(x \right)} - 15 \cos^{3}{\left(x \right)}$
Интегрируем почленно:
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int 64 \cos^{9}{\left(x \right)}\, dx = 64 \int \cos^{9}{\left(x \right)}\, dx$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\cos^{9}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{4} \cos{\left(x \right)}$
  2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
    Метод #1
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{4} \cos{\left(x \right)} = \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 6 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{8}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- 4 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{6}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{4 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 6 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{6 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
      
      Результат есть: $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{4 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{6 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
    Метод #2
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{4} \cos{\left(x \right)} = \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 6 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{8}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- 4 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{6}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{4 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 6 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{6 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
      
      Результат есть: $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{4 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{6 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{64 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{256 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{384 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{256 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + 64 \sin{\left(x \right)}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- 128 \cos^{7}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 128 \int \cos^{7}{\left(x \right)}\, dx$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\cos^{7}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \cos{\left(x \right)}$
  2. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
  3. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
        
        Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
        
        $\int u^{6}\, du$
        
        Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
        
        Если сейчас заменить $u$ ещё в:
        
        $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
        
        Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
        
        $\int u^{4}\, du$
        
        Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
        
        Если сейчас заменить $u$ ещё в:
        
        $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
      Таким образом, результат будет: $\frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
        
        Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
        
        $\int u^{2}\, du$
        
        Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
        
        Если сейчас заменить $u$ ещё в:
        
        $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      Таким образом, результат будет: $- \sin^{3}{\left(x \right)}$
    1. Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
    Результат есть: $- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{128 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{384 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + 128 \sin^{3}{\left(x \right)} - 128 \sin{\left(x \right)}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int 80 \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx = 80 \int \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\cos^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}$
  2. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
  3. Интегрируем почленно:
    1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
        
        Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
        
        $\int u^{2}\, du$
        
        Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
        
        Если сейчас заменить $u$ ещё в:
        
        $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    1. Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
    Результат есть: $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
  Таким образом, результат будет: $16 \sin^{5}{\left(x \right)} - \frac{160 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + 80 \sin{\left(x \right)}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- 15 \cos^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 15 \int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$
  2. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$
    1. Интегрируем почленно:
      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
        
        $\int 1\, du = u$
      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
        
        Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
        
        Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{3} + u$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
  Таким образом, результат будет: $5 \sin^{3}{\left(x \right)} - 15 \sin{\left(x \right)}$
Результат есть: $\frac{64 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{128 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + 16 \sin^{5}{\left(x \right)} - \frac{17 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
Теперь упростить:

$\frac{\left(448 \sin^{8}{\left(x \right)} - 1152 \sin^{6}{\left(x \right)} + 1008 \sin^{4}{\left(x \right)} - 357 \sin^{2}{\left(x \right)} + 63\right) \sin{\left(x \right)}}{63}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\left(448 \sin^{8}{\left(x \right)} - 1152 \sin^{6}{\left(x \right)} + 1008 \sin^{4}{\left(x \right)} - 357 \sin^{2}{\left(x \right)} + 63\right) \sin{\left(x \right)}}{63}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(448 \sin^{8}{\left(x \right)} - 1152 \sin^{6}{\left(x \right)} + 1008 \sin^{4}{\left(x \right)} - 357 \sin^{2}{\left(x \right)} + 63\right) \sin{\left(x \right)}}{63}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                      7            3            9            
 |                                         5      128*sin (x)   17*sin (x)   64*sin (x)         
 | cos(x)*cos(3*x)*cos(5*x) dx = C + 16*sin (x) - ----------- - ---------- + ---------- + sin(x)
 |                                                     7            3            9              
/

$${{\sin \left(9\,x\right)}\over{36}}+{{\sin \left(7\,x\right)}\over{ 28}}+{{\sin \left(3\,x\right)}\over{12}}+{{\sin x}\over{4}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

  17*cos(1)*cos(5)*sin(3)   11*cos(3)*cos(5)*sin(1)   10*sin(1)*sin(3)*sin(5)   25*cos(1)*cos(3)*sin(5)
- ----------------------- - ----------------------- - ----------------------- + -----------------------
             63                        63                        63                        63

$${{7\,\sin 9+9\,\sin 7+21\,\sin 3+63\,\sin 1}\over{252}}$$

  17*cos(1)*cos(5)*sin(3)   11*cos(3)*cos(5)*sin(1)   10*sin(1)*sin(3)*sin(5)   25*cos(1)*cos(3)*sin(5)
- ----------------------- - ----------------------- - ----------------------- + -----------------------
             63                        63                        63                        63

$$- \frac{17 \sin{\left(3 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{63} - \frac{10 \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(3 \right)} \sin{\left(5 \right)}}{63} - \frac{11 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(3 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{63} + \frac{25 \sin{\left(5 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{63}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.257039289671889

0.257039289671889

График

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл cos(x)cos(3x)cos(5x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл cos(x)*cos(3*x)*cos(5*x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Интеграл cos(x)cos(3x)cos(5x) d{x}