Интеграл cos(x/4)^(8) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1           
  /           
 |            
 |     8/x\   
 |  cos |-| dx
 |      \4/   
 |            
/             
0

$$\int\limits_{0}^{1} \cos^{8}{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\cos^{8}{\left(\frac{x}{4} \right)} = \left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{4}$
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{\cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{16} + \frac{\cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{1}{16}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{16}\, dx = \frac{\int \cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{16}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$
    2. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
    3. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
      
      Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{128} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{32} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{256}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{4}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
    2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
      
      Метод #1
      
      пусть $u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2}$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(2 - 2 u^{2}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 2\, du = 2 u$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- 2 u^{2}\right)\, du = - 2 \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{2 u^{3}}{3}$
      
      Результат есть: $- \frac{2 u^{3}}{3} + 2 u$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
      
      Метод #2
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2}$ и подставим $2 du$ :
      
      $\int 4 u^{2}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{2 u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$
      
      пусть $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$ :
      
      $\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left(u \right)}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
      
      Результат есть: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
      
      Метод #3
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2}$ и подставим $2 du$ :
      
      $\int 4 u^{2}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{2 u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$
      
      пусть $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$ :
      
      $\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left(u \right)}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
      
      Результат есть: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{8}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{16}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{4}$
    1. пусть $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$ :
      
      $\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left(u \right)}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}$
  Результат есть: $\frac{35 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{6} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{7 \sin{\left(x \right)}}{32} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{256}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{\cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{16} + \frac{\cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{1}{16}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{16}\, dx = \frac{\int \cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{16}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$
    2. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
    3. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
      
      Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{128} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{32} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{256}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{4}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
    2. пусть $u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2}$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(2 - 2 u^{2}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 2\, du = 2 u$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- 2 u^{2}\right)\, du = - 2 \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{2 u^{3}}{3}$
      
      Результат есть: $- \frac{2 u^{3}}{3} + 2 u$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{8}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{16}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{4}$
    1. пусть $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$ :
      
      $\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left(u \right)}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}$
  Результат есть: $\frac{35 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{6} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{7 \sin{\left(x \right)}}{32} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{256}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{35 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{6} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{7 \sin{\left(x \right)}}{32} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{256}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{35 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{6} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{7 \sin{\left(x \right)}}{32} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{256}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                    3/x\                                      
 |                  sin |-|                                      
 |    8/x\              \2/   sin(2*x)   7*sin(x)   35*x      /x\
 | cos |-| dx = C - ------- + -------- + -------- + ---- + sin|-|
 |     \4/             6        256         32      128       \2/
 |                                                               
/

$$2\,\left({{{{{{\sin \left(2\,x\right)}\over{2}}+x}\over{8}}+{{\sin x}\over{2}}+{{x}\over{4}}}\over{32}}+{{3\,\left({{\sin x}\over{2}}+ {{x}\over{2}}\right)}\over{16}}+{{x}\over{32}}+{{\sin \left({{x }\over{2}}\right)-{{\sin ^3\left({{x}\over{2}}\right)}\over{3}} }\over{4}}+{{\sin \left({{x}\over{2}}\right)}\over{4}}\right)$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

         7                      5                                              3              
 35   cos (1/4)*sin(1/4)   7*cos (1/4)*sin(1/4)   35*cos(1/4)*sin(1/4)   35*cos (1/4)*sin(1/4)
--- + ------------------ + -------------------- + -------------------- + ---------------------
128           2                     12                     32                      48

$${{3\,\sin 2+168\,\sin 1-128\,\sin ^3\left({{1}\over{2}}\right)+768 \,\sin \left({{1}\over{2}}\right)+210}\over{768}}$$

         7                      5                                              3              
 35   cos (1/4)*sin(1/4)   7*cos (1/4)*sin(1/4)   35*cos(1/4)*sin(1/4)   35*cos (1/4)*sin(1/4)
--- + ------------------ + -------------------- + -------------------- + ---------------------
128           2                     12                     32                      48

$$\frac{\sin{\left(\frac{1}{4} \right)} \cos^{7}{\left(\frac{1}{4} \right)}}{2} + \frac{7 \sin{\left(\frac{1}{4} \right)} \cos^{5}{\left(\frac{1}{4} \right)}}{12} + \frac{35 \sin{\left(\frac{1}{4} \right)} \cos^{3}{\left(\frac{1}{4} \right)}}{48} + \frac{35 \sin{\left(\frac{1}{4} \right)} \cos{\left(\frac{1}{4} \right)}}{32} + \frac{35}{128}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.922120858387445

0.922120858387445

График

$Интеграл cos(x/4)^(8) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл cos(x/4)^(8) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Метод #2