Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл 3*x^2-4*x+2
Интеграл cos(3*x)*sin(4*x)
Интеграл sin(3-2*x)
Интеграл 2*cos(3*x)
Идентичные выражения
cos(три *x)*sin(четыре *x)
косинус от (3 умножить на x) умножить на синус от (4 умножить на x)
косинус от (три умножить на x) умножить на синус от (четыре умножить на x)
cos(3x)sin(4x)
cos3xsin4x
cos(3*x)*sin(4*x)dx

Решение интегралов/ cos(3*x)*sin(4*x)

Интеграл cos(3x)sin(4*x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                     
  /                     
 |                      
 |  cos(3*x)*sin(4*x) dx
 |                      
/                       
0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} = - 32 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + 24 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 16 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 12 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$
Интегрируем почленно:
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- 32 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 32 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}$
  2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
    Метод #1
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(u^{6} - u^{4}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$
      
      Результат есть: $\frac{u^{7}}{7} - \frac{u^{5}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
    Метод #2
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{6}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
      
      Результат есть: $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
    Метод #3
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{6}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
      
      Результат есть: $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{32 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{32 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int 24 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 24 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$
  2. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int \left(u^{4} - u^{2}\right)\, du$
    1. Интегрируем почленно:
      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
        
        Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
        
        Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      Результат есть: $\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{24 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - 8 \cos^{3}{\left(x \right)}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int 16 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 16 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$
  1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
    
    $\int u^{4}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$
      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{16 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- 12 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 12 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
  1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
    
    $\int u^{2}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  Таким образом, результат будет: $4 \cos^{3}{\left(x \right)}$
Результат есть: $- \frac{32 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + 8 \cos^{5}{\left(x \right)} - 4 \cos^{3}{\left(x \right)}$
Теперь упростить:

$\left(- \frac{32 \cos^{4}{\left(x \right)}}{7} + 8 \cos^{2}{\left(x \right)} - 4\right) \cos^{3}{\left(x \right)}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\left(- \frac{32 \cos^{4}{\left(x \right)}}{7} + 8 \cos^{2}{\left(x \right)} - 4\right) \cos^{3}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\left(- \frac{32 \cos^{4}{\left(x \right)}}{7} + 8 \cos^{2}{\left(x \right)} - 4\right) \cos^{3}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                         7   
 |                                 3           5      32*cos (x)
 | cos(3*x)*sin(4*x) dx = C - 4*cos (x) + 8*cos (x) - ----------
 |                                                        7     
/

$$-{{\cos \left(7\,x\right)}\over{14}}-{{\cos x}\over{2}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

4   4*cos(3)*cos(4)   3*sin(3)*sin(4)
- - --------------- - ---------------
7          7                 7

$${{4}\over{7}}-{{\cos 7+7\,\cos 1}\over{14}}$$

4   4*cos(3)*cos(4)   3*sin(3)*sin(4)
- - --------------- - ---------------
7          7                 7

$$- \frac{4 \cos{\left(3 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{7} - \frac{3 \sin{\left(3 \right)} \sin{\left(4 \right)}}{7} + \frac{4}{7}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.24742725746998

0.24742725746998

График

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл cos(3x)sin(4*x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл cos(3*x)*sin(4*x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Интеграл cos(3x)sin(4*x) d{x}