Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл cos(x)^8
Интеграл 1/sqrt(1-x)^3
Интеграл 4/x^2
Интеграл 1/sin(x)^(22)
Производная:
cos(3*x)*cos(x)
Идентичные выражения
cos(три *x)*cos(x)
косинус от (3 умножить на x) умножить на косинус от (x)
косинус от (три умножить на x) умножить на косинус от (x)
cos(3x)cos(x)
cos3xcosx
cos(3*x)*cos(x)dx
Похожие выражения
cos(3*x)*cosx

Решение интегралов/ cos(3*x)*cos(x)

Интеграл cos(3x)cos(x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                   
  /                   
 |                    
 |  cos(3*x)*cos(x) dx
 |                    
/                     
0

$$\int\limits_{0}^{1} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\cos{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} = 4 \cos^{4}{\left(x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(x \right)}$
Интегрируем почленно:
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int 4 \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\cos^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$
  2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
    Метод #1
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
      
      Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$
    Метод #2
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
      
      Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{2} + \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- 3 \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      1. пусть $u = 2 x$ .
        
        Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
        
        Интеграл от косинуса есть синус:
        
        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
        
        Если сейчас заменить $u$ ещё в:
        
        $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
    Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{3 x}{2} - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4}$
Результат есть: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
Теперь упростить:

$\sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                            
 |                          sin(2*x)   sin(4*x)
 | cos(3*x)*cos(x) dx = C + -------- + --------
 |                             4          8    
/

$${{\sin \left(4\,x\right)}\over{8}}+{{\sin \left(2\,x\right)}\over{4 }}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

  cos(3)*sin(1)   3*cos(1)*sin(3)
- ------------- + ---------------
        8                8

$${{\sin 4+2\,\sin 2}\over{8}}$$

  cos(3)*sin(1)   3*cos(1)*sin(3)
- ------------- + ---------------
        8                8

$$\frac{3 \sin{\left(3 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{8} - \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{8}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.132724044792929

0.132724044792929

График

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл cos(3x)cos(x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл cos(3*x)*cos(x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Интеграл cos(3x)cos(x) d{x}