Интеграл (cos(t))^2 d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cos^{2}{\left(t \right)} = \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}$

      1. пусть $u = 2 t$.

         Тогда пусть $du = 2 dt$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$

   Результат есть: $\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$